MECÁNICA

CINEMÁTICA

Adición o Suma de Vectores

Disponible en: https://www.geogebra.org/m/hqpSQ6Ns

Dado que los vectores son entes matemáticos con módulo (magnitud), dirección y sentido, no siguen la regla tradicional de la suma escalar. La suma de dos vectores da otro vector. En forma gráfica se pueden sumar mediante el método del paralelogramo, por ejemplo; otra, es mediante el método analítico de la descomposición en sus componentes en el plano o el espacio. El applet de arriba describe éste último método en el plano con coordenadas rectangulares.

Su interés en estudiarlo radica en que muchas magnitudes físicas tienen naturaleza vectorial como la fuerza, la aceleración y la velocidad en mecánica; el campo eléctrico y magnético en electromagnetismo, entre muchas otras más.

Este applet permite, en primer lugar, describir las características de los vector U y V mediante sus módulos U=a o V=b, las direcciones y sentidos α o β. A ambos vectores se le pueden asignar sus respectivos módulos y ángulos que forman con el semieje +x con los deslizadores a, kα, b  y  kβ. Los ángulos se miden en radianes en los deslizadores y se expresan en grados sexagesimales en la representación gráfica. Con las casillas U y V se pueden desplegar los  vectores, por separado o en conjunto, con sus respectivas componentes en los ejes x y y. Al accionar la casilla W se obtiene la suma resultante de los dos vectores  U y V . También se calcula el módulo o magnitud W del vector W y la dirección que forma con el eje x mediante el ángulo γ.  

Actividades:

1. Desactive todas las casillas U, V y W. Luego, sólo active la casilla del vector U. Elija una  magnitud de U = 8 unidades, por ejemplo, y un ángulo cero haciendo kα = 0. El vector U aparece sobre el eje +x, por supuesto. A continuación coloque el cursor del ratón sobre el deslizador kα  y aumente su valor. Observará que el vector rota 360 grados en sentido antihorario, o hasta el valor que haya elegido. Observe también cómo cambian las componentes Ux y Uy a medida que el vector rota. Ahora bien, coloque el vector en el primer cuadrante. Calcule con las ecuaciones que usted conoce, sus componentes y compare con los valores del applet. Repita para otros cuadrantes.

2. Suma de vectores. Despliegue simultáneamente con sus respectivas casillas los dos vectores U y V. Pulse luego en la casilla W para desplegar el vector resultante. Cambie los valores de los módulos y los ángulos de los vectores U y V y observe cómo cambia el vector W. 

Desactive la casilla W. Coloque U y V en el primer cuadrante. Tome nota de las componentes de cada vector y mediante las sumas algebraicas de la componentes, prediga dónde estará ubicada la punta de flecha del vector resultante W. Active W y observe sí sus predicciones se corresponden con lo presentado por el applet. Repita con los demás cuadrantes.

Movimiento Rectilíneo Uniforme

Disponible en: https://www.geogebra.org/m/NvGzphup

El applet de arriba permite experimentar con el movimiento de un móvil que se desplaza en línea recta con rapidez constante. Se dispone de un cronómetro y una cinta métrica con doble escala en centímetros y pulgadas. Los botones de Inicio, Pausa y Reinicio permiten el control de las medidas con facilidad. Con el botón Reinicio el móvil se posiciona en d = 0 cm y t = 0 s para cierta rapidez constante elegida con el deslizador v. Con Inicio comienza a moverse y con Pausa se puede detener.

Actividades:

1. Desactive las casillas de control de instrumentos y gráficas. Use los tres botones hasta adquirir cierta soltura con su uso.
2. Active el botón Inicio y detenga el móvil en 2, 4, 6 cm,... Tome nota de los tiempos respectivos. Calcule la rapidez en este caso y compare con el valor señalado por el deslizador v. 
3. Grafique d versus t y v versus t. Active la casilla Gráficas y compare  con las gráficas que usted ha realizado.

Movimiento Rectilíneo 

Uniformemente Acelerado

Disponible en: https://www.geogebra.org/m/ZPVjGHEj

El applet de arriba permite experimentar con un móvil que se desplaza en línea recta con movimiento uniformemente acelerado (MUA). Se dispone de un cronómetro y una cinta métrica con doble escala en centímetros y pulgadas. Los botones de Inicio, Pausa y Reinicio permiten el control de las medidas con facilidad. Con el botón reinicio el móvil se posiciona  en d = 0 cm y  t = 0 s para los valores de la rapidez inicial vo y aceleración constante a, elegidos con los respectivos deslizadores. Con Inicio comienza a moverse y con Pausa se puede detener.

Actividades:

1. Desactive las casillas de control de instrumentos y gráficas. Use los tres botones hasta adquirir cierta soltura con su uso. Observe cómo el móvil cambia su rapidez a medida que se desplaza.

2. Active el botón Inicio y detenga el móvil aproximadamente en 4,0 cm,  por ejemplo, y tome nota del tiempo transcurrido. Con las ecuaciones conocidas de la cinemática, calcule el desplazamiento y la rapidez. Compare con los valores indicados en cada gráfica. 

3. Grafique d versus t y v versus t. Active la casilla Gráficas y compare  con las gráficas que usted ha elaborado.

ONDAS II

Interferencia

Para los detalles teóricos se recomienda consultar el siguiente Blog: http://senderospedagogicos.blogspot.com/p/blog-page_20.html

Superposición de pulsos ondulatorios

En el Applet 1 se observa la superposición de dos pulsos ondulatorios idénticos  (azul y rojo) que se desplazan en sentidos contrarios y el pulso resultante (negro). A medida que se acercan se superponen e interfieren constructivamente, la amplitud resultante se incrementa hasta un máximo valor, cuando están completamente en fase; luego, cuando se separan se van desfasando y la amplitud  total decrece hasta cero.

Applet 1

Ver en: http://www.geogebratube.org/material/show/id/82937

ONDAS I

Conceptos Fundamentales





Movimiento Ondulatorio

Para los detalles teóricos se recomienda consultar el siguiente Blog: http://senderospedagogicos.blogspot.com/p/blog-page_20.html

En general, la función

        

es la expresión analítica adecuada para representar una nueva “situación física” o una perturbación que viaja hacia la izquierda (+V) o hacia la derecha (-V), respectivamente, y por consiguiente se usará a continuación en la descripción de las ondas armónicas. 


                         Pulso ondulatorio

El applet que se muestran a continuación, muestran en forma gráfica el movimiento de un pulso de onda. Se activa pulsando el botón Inicio con el ratón; Pausa para detenerlo y Reinicio para iniciarlo de nuevo. De esta manera la curva se desplaza.

Verlo también en: http://tube.geogebra.org/student/m1169895

A continuación se muestran dos pulsos más: el triangular y el sinusoidal, respectivamente.

Ondas armónicas

Un caso particular del movimiento ondulatorio es la función senoidal (o cosenoidal) la cual representa una onda viajera o de propagación, tal como:

donde Ψ_0, el valor máximo de la función Ψ, es la amplitud de la onda (una constante cuyo significado se dará a continuación) y ε es la fase inicial; k es el número de onda y V la velocidad de la onda.

Según la ecuación anterior, Ψ(x,t) es una función de dos variable, una espacial y otra temporal. Así que, para un instante de tiempo fijo, t = 0 por ejemplo, Ψ(x,0) da la distribución de puntos a lo largo del eje x;  Ψ(0,t) describe el movimiento armónico simple del punto ubicado en x = 0 y  Ψ(x,t) detalla el movimiento de todos los puntos del medio en vibración a medida que la onda se propaga a lo largo del eje x. 

        En el siguiente Applet se puede variar el número de onda k, la longitud de la onda λ y su amplitud Ψ₀= a con los deslizadores respectivos. Se puede apreciar cómo k depende de λ. Por ejemplo, con  λ  = 2 pi = 6,28 , entonces k = 1, lo cual significa que en la distancia 2 pi sólo hay una longitud de onda; para  λ   = pi , entonces k = 2, y por consiguiente en la distancia 2 pi hay dos longitudes de onda, y así sucesivamente.

         Ver en:http://geogebratube.org/material/show/id/82267

          Actividades:

1. Pulse Inicio y varíe la amplitud a.

2. Elija k = 2 e indique el valor de la longitud de onda; repita para k = 0.5.

3. Elija e = 0. Observe cómo comienza el movimiento de la mano para generar las ondas. Repita con e = pi/2, pi, etc.

Longitud de onda

A fin de precisar el significado de la longitud de onda y la frecuencia de la onda armónica observemos el siguiente Applet. Todos los puntos del medio por donde pasa la onda vibran con la misma frecuencia y periodo, y sus máximos desplazamientos (amplitud) coinciden. Sin embargo, dos puntos separados una, dos, tres,…, N  longitudes de onda (A y C o B y D en el Applet) vibran en fase, sincronizados; es decir, suben y bajan al mismo tiempo porque tienen igual desplazamiento, velocidad, aceleración, energía cinética y potencial. Aunque, si están separados media, una y media, dos y media,…longitudes de onda (A y B, B y C, C y D, A y D), vibran desfasados; es decir, mientras uno sube el otro baja. En consecuencia, se define la longitud de onda como la mínima distancia entre dos puntos que vibran en fase. En este caso hacemos referencia a la diferencia de fase entre dos puntos del medio; A y B tienen una diferencia de fase de pi radianes, pero la diferencia de fase entre A y C es de 0 radianes. Por comodidad la longitud de onda se obtiene midiendo la distancia de cresta a cresta o de valle a valle de la onda.

Ver en: http://geogebratube.org/material/show/id/82285

Si se fija la atención en una porción de la onda, sea esta una cresta o un valle, se puede seguir su movimiento durante su propagación, como se puede observar activando el Applet anterior. En tal sentido pulse el botón de Inicio y observe que la punta de flecha viaja con cierta velocidad y cuando ha recorrida la distancia que separa dos crestas consecutivas (puntos E y F), el punto rojo ha realizado una oscilación completa. Durante una oscilación completa del punto rojo, la cresta de la onda donde está montada la flecha azul habrá recorrido una longitud de onda. Por otra parte, el tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a la longitud de onda es su periodo.

Actividades:

1. Observe cómo los puntos A y C, B y D, separados una longitud de onda, vibran en fase.

2. Observe cómo los puntos A y B, B y C, C y D, separados una longitud de onda, vibran en fase; igual para A y D, separados una longitud de onda y media.

3. Observe que mientras cualquier punto (A por ejemplo) oscila un periodo completo, la punta de flecha recorre una longitud de onda mientras la onda se desplaza.

Con este otro applet también se puede analizar el concepto de longitud de onda.

Ver en: http://geogebratube.org/student/m96902

Actividades:

1. Active el applet con el botón de Inicio y observe cómo se propaga la onda.

2. Active la Casilla Puntos rojos en fase y bserve cómo los puntos A , C, E y G, separados una longitud de onda, vibran en fase.

3. Active la Casilla Puntos verdes en fase y observe cómo los puntos B , D, F y H, separados una longitud de onda, también vibran en fase.

4. Observe cómo los pares de puntos A y B, B y C, C y D, entre otros, separados media longitud de onda, vibran fuera de fase; igual para A y D, separados una y media longitud de onda.

5. Active la Casilla Rejilla y desactive la Casilla Onda y observe cómo los diferentes puntos oscilan en fase y desfasados.

                     Fase de la onda

En el siguiente applet se muestra cómo se origina la onda sí el vibrador (punto azul) comienza (t = 0) a moverse hacia abajo o hacia arriba. Sí la mano se mueve hacia abajo el ángulo de fase es ε = 0; sí se mueve hacia arriba, el ángulo de fase es ε = 3.1416 . Note la diferencia entre las dos ondas. La primera onda toma valores negativos en la primera mitad del ciclo, porque la mano está moviéndose por debajo de la posición de equilibrio y positivos en la segunda mitad; la segunda onda toma valores positivos en la primera mitad del ciclo, porque la mano está moviéndose por encima de la posición de equilibrio y negativos en la segunda mitad.

Actividades:

1. Pulse el botón de Inicio para activar el applet y observe cómo se empiezan a mover hacia abajo los puntos. Pulse el botón Pausa cuando haya transcurrido un tiempo t igual a la mitad del período (t = 1 s) observará que se habrá formado la primera cresta con valores negativos. Puede usar también el deslizador t para precisar el valor de t. 

2. Pulse Inicio para que continúe el movimiento y deténgalo en t = 2 s. Observe cómo se habrá formado una onda completa con longitud de onda igual a 6,28 . Active la casilla Gráfica y observe cómo se despliega la gráfica representativa de esta onda. En este caso la Fase inicial vale cero. 

3. Cambie el valor del ángulo de fase de 0 a 6,28. Observe cómo se invierte la onda. 

4. Calcule la fase de la onda con la fórmula que aparece en la parte inferior para t = 2 s y x = 6,28. Compruebe que la fase de la onda es igual a la fase inicial (3,14).         

                      Onda Sonora 

Un caso particular del movimiento ondulatorio lo representa el sonido. Esta constituido por compresiones y expansiones del aire que se desplazan a 240 m/s en condiciones normales de temperatura y presión. Su frecuencia audible varía entre 20 y 20.000 Hz. El siguiente applet permite simular la representación gráfica de su movimiento. Con los botones de control se puede activar. En la parte superior se muestra la simulación, y en la inferior, las gráficas de las ondas de presión P (verde) y desplazamiento  ξ (rojo)

Actividades:

1. Pulse el botón de Inicio. Observe cómo se forman regiones con mayor densidad y otras de menor densidad a medida que la onda se propaga.

 2. Compare con las gráficas.

OSCILACIONES

Applets alojados
en 
GeoGebra Tube

     A continuación ponemos a disposición de nuestros lectores la colección de applet utilizados en las diferentes páginas de este Blog. Fueron diseñados y elaborados por nosotros mismos con el excelente software Geogebra, como recursos didácticos para facilitar el aprendizaje de los conceptos de física y química que aquí se discuten. Se encuentran alojados en la página GeogebraTube (http://geogebratube.org), donde cada uno se describe con su respectiva lista de actividades. Se agradecen sugerencias para mejorarlos.

¿Qué es GeoGebra?

Según Wikipedia,  "GeoGebra es un software matemático interactivo libre para la educación en colegios y universidades. Su creador Markus Hohenwarter, comenzó el proyecto en el año 2001 en la Universidad de Salzburgo y lo continúa en la Universidad de Atlantic, Florida.

      GeoGebra está escrito en Java y por tanto está disponible en múltiples plataformas. Es básicamente un procesador geométrico y un procesador algebraico, es decir, un compendio de matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra y cálculo, por lo que puede ser usado también en física, proyecciones comerciales, estimaciones de decisión estratégica y otras disciplinas.

Su categoría más cercana es software de geometría dinámica.

   Con GeoGebra pueden realizarse construcciones a partir de puntos, rectas, semirrectas, segmentos, vectores, cónicas, etc., mediante el empleo directo de herramientas operadas con el ratón o la anotación de comandos en la Barra de Entrada, con el teclado o seleccionándolos del listado disponible. Todo lo trazado es modificable en forma dinámica: es decir que si algún objeto B depende de otro A, al modificar A, B pasa a ajustarse y actualizarse para mantener las relaciones correspondientes con A.

     GeoGebra permite el trazado dinámico de construcciones geométricas de todo tipo así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico y el cálculo de funciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc." 

Movimiento Oscilatorio 

En esta sección utilizamos esta poderosa herramienta de la Web para diseñar Applets de Física que simplifican el aprendizaje de los procesos naturales mediante las simulaciones. En tal sentido se incorporan algunos applets realizados con Geogebra como recurso didáctico para la discusión del movimiento armónico simple en un sistema oscilante. Se deja al lector la revisión teórica en la bibliografía correspondiente; tal como el excelente libro de Física de Resnick - Halliday. 

     Los siguientes Applets  muestran algunas gráficas de las funciones que permite simular el movimiento ondulatorio. Para activarlos hay que pulsar el botón del deslizador (semirecta con círculo) con el ratón y manteniéndolo presionado, se mueve a la derecha o izquierda para cambiar el valor de los diferentes parámetros. También se puede activar marcando el delizador con el ratón y luego se presionan las flechas de derecha o izquierda.

Movimiento Armónico Simple (MAS) 

Cinemática y dinámica

El movimiento armónico simple se caracteriza por la existencia de una fuerza restauradora tipo Hooke (F = - k x). Muchos sistemas mecánicos y electromagnético se pueden describir, en primera aproximación, con este modelo sencillo. En particular, si el sistema es mecánico, su elasticidad  es la responsable de la fuerza restauradora; además de su inercia, que interviene en oponerse al cambio de su velocidad. Estas propiedades (elasticidad e inercia) compiten para mantener el sistema oscilando. Por efecto de la elasticidad se genera la fuerza elástica restauradora que actúa sobre el cuerpo cuando ha sido desplazada de su posición de equilibrio estable; por su parte, la inercia da información acerca de cómo responde la masa a la acción de la fuerza restauradora. Cuando el cuerpo que oscila se encuentra a la derecha o izquierda de la posición de equilibrio, se genera una fuerza restauradora que lo obliga a retornar a dicha posición; en esta posición de equilibrio, la fuerza elástica deja de actuar y la inercia  “toma el control” para enviar la esfera más allá de la posición de equilibrio, hacia los puntos de retorno donde se devuelve. Este proceso se repite y mantiene mientras el sistema se mantenga oscilando. 

Al realizar un análisis detallado de un sistema con estas características, se obtiene que la ecuación que describe su movimiento es:

d²x/dt² + ω² x = 0,

donde la frecuencia angular es  ω = (k/m)^1/2 . 

La solución de esta ecuación diferencial es:

 x(t) = x₀ sen (ω t + φ),

donde x₀ es la amplitud y φ el ángulo de fase.

Los applets que se muestran a continuación permiten simular el movimiento armónico simple de un disco sometido a la acción de una fuerza restauradora. Se representan las gráficas correspondientes al desplazamiento X, velocidad v, aceleración a de la partícula, fuerza F, con sus respectivos vectores. Se disponen las Casillas de Control para activar las gráficas X, V, a y F, y sus correspondientes vectores.

Primer applet:

 

Ver en: http://www.geogebratube.org/material/show/id/96014