Applets alojados
en
GeoGebra Tube
A continuación ponemos a disposición de nuestros lectores la
colección de applet utilizados en las diferentes páginas de este Blog. Fueron
diseñados y elaborados por nosotros mismos con el excelente software Geogebra,
como recursos didácticos para facilitar el aprendizaje de los conceptos de
física y química que aquí se discuten. Se encuentran alojados en la página
GeogebraTube (http://geogebratube.org), donde cada uno se describe con su respectiva lista de
actividades. Se agradecen sugerencias para mejorarlos.
¿Qué es GeoGebra?
GeoGebra está escrito en Java y por tanto está disponible en múltiples plataformas. Es básicamente un procesador geométrico y un procesador algebraico, es decir, un compendio de matemática con software interactivo que reúne geometría, álgebra y cálculo, por lo que puede ser usado también en física, proyecciones comerciales, estimaciones de decisión estratégica y otras disciplinas.
Su categoría más cercana es software de geometría dinámica.
Con GeoGebra pueden realizarse construcciones a partir de puntos, rectas, semirrectas, segmentos, vectores, cónicas, etc., mediante el empleo directo de herramientas operadas con el ratón o la anotación de comandos en la Barra de Entrada, con el teclado o seleccionándolos del listado disponible. Todo lo trazado es modificable en forma dinámica: es decir que si algún objeto B depende de otro A, al modificar A, B pasa a ajustarse y actualizarse para mantener las relaciones correspondientes con A.
GeoGebra permite el trazado dinámico de construcciones geométricas de todo tipo así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico y el cálculo de funciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc."
GeoGebra permite el trazado dinámico de construcciones geométricas de todo tipo así como la representación gráfica, el tratamiento algebraico y el cálculo de funciones reales de variable real, sus derivadas, integrales, etc."
Movimiento Oscilatorio
En esta sección utilizamos esta
poderosa herramienta de la Web para diseñar Applets de Física que simplifican el aprendizaje de los procesos naturales mediante las simulaciones. En tal
sentido se incorporan algunos applets realizados con Geogebra como recurso didáctico para la discusión del movimiento armónico simple en un sistema oscilante. Se deja al
lector la revisión teórica en la bibliografía correspondiente; tal como el excelente libro de Física de Resnick - Halliday.
Los siguientes
Applets muestran algunas gráficas de las funciones que permite simular el movimiento
ondulatorio. Para activarlos hay que pulsar el botón del deslizador
(semirecta con círculo) con el ratón y manteniéndolo presionado, se mueve a la
derecha o izquierda para cambiar el valor de los diferentes
parámetros. También se puede activar marcando el delizador con el ratón
y luego se presionan las flechas de derecha o izquierda.
Movimiento Armónico Simple (MAS)
Cinemática y dinámica
El movimiento armónico simple se caracteriza por la existencia de una fuerza restauradora tipo Hooke (F = - k x). Muchos sistemas mecánicos y electromagnético se pueden describir, en primera aproximación, con este modelo sencillo. En particular, si el sistema es mecánico, su elasticidad es la responsable de la fuerza restauradora; además de su inercia, que interviene en oponerse al cambio de su velocidad. Estas propiedades (elasticidad e inercia) compiten para mantener el sistema oscilando. Por efecto de la elasticidad se genera la fuerza elástica restauradora que actúa sobre el cuerpo cuando ha sido desplazada de su posición de equilibrio estable; por su parte, la inercia da información acerca de cómo responde la masa a la acción de la fuerza restauradora. Cuando el cuerpo que oscila se encuentra a la derecha o izquierda de la posición de equilibrio, se genera una fuerza restauradora que lo obliga a retornar a dicha posición; en esta posición de equilibrio, la fuerza elástica deja de actuar y la inercia “toma el control” para enviar la esfera más allá de la posición de equilibrio, hacia los puntos de retorno donde se devuelve. Este proceso se repite y mantiene mientras el sistema se mantenga oscilando.
Al realizar un análisis detallado de un sistema con estas características, se obtiene que la ecuación que describe su movimiento es:
Al realizar un análisis detallado de un sistema con estas características, se obtiene que la ecuación que describe su movimiento es:
d2x/dt2 + ω2 x = 0,
donde la frecuencia angular es ω = (k/m)1/2 .
La solución de esta ecuación diferencial es:
x(t)
= x0 sen (ω t + φ),
Los applets que se muestran a continuación permiten simular el movimiento armónico simple de un disco sometido a la acción de una fuerza restauradora. Se representan las gráficas correspondientes al desplazamiento X, velocidad v, aceleración a de la partícula, fuerza F, con sus respectivos vectores. Se disponen las Casillas de Control para activar las gráficas X, V, a y F, y sus correspondientes vectores.
Primer applet:
Actividades:
2. Pulse el botón de Inicio. Observe cómo el disco oscila armónicamente entre los puntos de retorno izquierdo - Xm y derecho +Xm. Cambie el valor de la frecuencia angular a 2, 3, 4,... y observe cómo el disco oscila más rápido.
3. Active las casillas y siga las variaciones en la magnitudes de los vectores X(t), V(t), a(t) y F(t) a medida que el círculo oscila.
4. Determine el periodo T del MAS en s (segundos) y la frecuencia angular ω en Hz (Hertz).
Segundo applet:
Actividades:
1.Pulse el botón de Inicio. El disco oscila armónicamente y la función desplazamiento X(t) se va dibujando simultáneamente; por igual cambian al unísono, las magnitudes y los sentidos de los vectores X, V y a y F.
2. Active la casilla desplazamiento y la función seno se superpone a la gráfica de punto X. Esto indica que esta función seno describe el desplazamiento del disco durante su movimiento oscilatorio.
3. Active las demás casillas V y a, para desplegar sus gráficas. Estudie la correspondencia entre las gráficas de las funciones y sus respectivas representaciones vectoriales.
4. Determine el periodo T del MAS en s (segundos) y la frecuencia angular en Hz (Hertz) directamente de las gráficas.
4. Determine el periodo T del MAS en s (segundos) y la frecuencia angular en Hz (Hertz) directamente de las gráficas.
Energía potencial
Applet para describir la energía potencial involucrada en el MAS. El oscilador se encuentra en un "pozo de energía potencial" descrito por la función E(x) = a x2 + b x3 , donde a y b son constantes; a = 0.5 k y b = 0 describe el caso del oscilador armónico simple, siendo k la constante elástica del sistema; b > 0 considera oscilaciones anarmónicas.
El disco rojo representa la partícula de masa M oscilando entre los puntos de retorno -Xm y Xm al ser sometida a la fuerza restauradora F. También se muestra la representación geométrica del cambio de la energía con el desplazamiento (derivada resto a x) mediante la recta tangente a la curva. Para - Xm < X < 0 , la pendiente de la recta es negativa; sí 0 < X < Xm , la pendiente es positiva y sí X = 0 (posición de equilibrio) la pendiente es 0.
2. Active las casillas F, X y tangente. Observe cómo, a medida que la partícula oscila, varía la pendiente. Compruebe que si - Xm < X < 0 , la pendiente de la recta es negativa; sí 0 < X < Xm , la pendiente es positiva y sí X = 0 (posición de equilibrio) la pendiente es 0.
Energías potencial y cinética
Un cuerpo con movimiento armónico simple tiene energía cinética y potencial. Para una masa constante, la cinética depende de la velocidad al variar el desplazamiento en el tiempo; la potencial está asociada con la configuración elástica adoptada (resorte estirado, por ejemplo), la posición dentro de un campo gravitacional, eléctrico o magnético (piedra a cierta altura, péndulo oscilando, entre otros).
Este applet permite estudiar la variación de la energía mecánica, cinética y potencial en el tiempo. Al cambiar k (constante elástica) y M (masa) se modifican las energías potencial y cinética, respectivamente. El ángulo de fase es φ y Xm es la amplitud, es decir, la máxima elongación.
Actividades:
1. Variación de
la energía cinética. Con el ángulo de fase θ igual a
cero, el cuerpo comienza el movimiento hacia la derecha de la posición de
equilibrio. Al aumentar M y se observa cómo se incrementa el periodo del
movimiento. Varíe φ y observe cómo cambia la gráfica.
2. Variación de
la energía potencial. Observe su variación con el cambio de k y
cómo varía el período.
3. Constancia de la energía mecánica.
Observe cómo, sin importar los valores de M y k, la energía mecánica
permanece constante, como se espera.
Sistema masa-resorte
Este sencillo applet ilustra el comportamiento de sistemas oscilantes más complicados. Entre sus innumerables aplicaciones, mencionamos el mecanismo de amortiguamiento de los automóviles mediante resortes espirales.
Se caracteriza por poseer dos propiedades fundamentales:
a) La elasticidad, la cual reside en el resorte; se mide mediante su constante elástica k, en N/m.
b) La inercia, la cual reside en la pesa que cuelga; se mide mediante su masa m, en Kg. En este modelo particular consideramos que la masa del resorte es muy pequeña comparada con la masa de la esfera.
Estas propiedades (elasticidad e inercia) compiten para mantener el sistema oscilando. Por efecto de la elasticidad se genera la fuerza elástica restauradora que actúan sobre la esfera colgante cuando ha sido desplazada de su posición de equilibrio estable; por su parte, la inercia da información acerca de cómo responde la masa a la acción de la fuerza restauradora. Cuando la esfera se encuentra por arriba (o debajo) de la posición de equilibrio, se genera una fuerza restauradora que lo obliga a retornar a dicha posición; en esta posición de equilibrio, la fuerza elástica deja de actuar y la inercia “toma el control” para enviar la esfera más allá de la posición de equilibrio, hacia los puntos de retorno donde se devuelve. Este proceso se repite y mantiene mientras el sistema oscile. Por simplicidad, no hemos considerado tampoco en este análisis el efecto de la fricción.
Ver en:https://tube.geogebra.org/student/m791317
Inicialmente, la esfera se encuentra en posición de equilibrio (flecha horizontal a trazos) estable porque, al no estar estirado o comprimido el resorte, la fuerza restauradora (vector verde) es cero. Al pulsar la tecla de Arranque, comienza a oscilar hacia arriba, llega a la posición de máximo desplazamiento vertical (vector morado) y retorna a la posición de equilibrio de nuevo; luego, la inercia lo hace bajar hasta el punto de máximo desplazamiento y sube otra vez hasta la posición de equilibrio, la cual traspasa por la acción de la inercia. El ciclo se repite indefinidamente en este modelo sin roce.
Actividades:
1. Pulse la tecla de Arranque y observe cómo se comporta el sistema a medida que transcurre el tiempo. La elongación y la fuerza restauradora varían a medida que el sistema oscila; note que los vectores que las representan, siempre tienen sentidos contrarios.
2. Varíe la masa de la esfera con el Deslizador rojo y observe cómo varía el periodo de oscilación. ¿Aumenta el período con el incremento de la masa?
3. Varíe la constante elástica con el Deslizador azul y observe cómo varía el período de oscilación. ¿Aumenta el período con la disminución de k?
4. Elija el máximo valor de la masa y el mínimo valor de la constante elástica. Reinicie el applet. Pulse Arranque y mida el tiempo transcurrido para 2 oscilaciones. Calcule el período y la frecuencia de oscilación. Compare con las ecuaciones del modelo MAS ( T = 6,28 (m/k)1/2 , f = 1/T).
Ángulo de fase:
El applet que se muestra abajo permite establecer el valor del
ángulo de fase φ y relacionarlo con las condiciones iniciales
del movimiento.
Ver también en: http://geogebratube.org/student/m69052
Actividades:
1. Cambie el valor de la masa M y prediga sí el periodo aumenta o disminuye.
2. Cambie el valor de la constante elástica k y prediga sí el periodo aumenta o disminuye.
3. Aumente el valor del ángulo de fase φ y prediga dónde comenzará el movimiento del bloque.
El siguiente applet complementa la discusión anterior.
Actividades:
1. La curva que se muestra es la
gráfica del ángulo de fase φ(Xi) = arctg (Xi ω/ vi) para Xi;
al correr el deslizador a la derecha o izquierda se podrá observar cómo
cambia su valor. En particular, moviendo el deslizador hasta los extremos se obtienen
los valores máximos y mínimos de φ, los cuales
son π/2 y -π/2, respectivamente.
2. Active la gráfica del
desplazamiento X(t) = Xo sen
(ωt + φ) con la Casilla de control Velocidad
positiva. En t = 0, el cuerpo estará en
la posición de equilibrio X = 0 y se moverá hacia los valores positivos de +X con la máxima velocidad; es decir, tendrá el máximo valor vo. En
consecuencia, φ = 0 y X(t) = Xo sen
(ωt), como lo indica su gráfica.
Por otra parte, si para t = 0, X = +Xo, el
cuerpo estará en reposo en el punto de retorno positivo, de modo que v =
0; y φ = π/2. Por consiguiente, X(t) = Xo sen (ωt+π/2)
= xo cos
(ωt) la cual coincide con la gráfica.
3. Active la gráfica X(t) con la
casilla de control Velocidad negativa. Repita lo anterior para las demás
posiciones y encuentre los respectivos valores del ángulo de fase φ.
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